1°. На рисунке 39 BC ⟂ AC, EC ⟂ MB, O — точка пересечения медиан треугольника ABC, MC = 30 мм, ME = 20 мм. Найдите cos ∠EMC и OM.

Так как EC ⟂ MB, треугольник EMC прямоугольный при E. Его гипотенуза MC = 30 мм, а катет ME = 20 мм.

По определению косинуса:

\(\cos \angle EMC = \frac{ME}{MC} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\).

Поскольку BM — медиана к AC и BC ⟂ AC, треугольник BMC прямоугольный при C. E — основание высоты из C на гипотенузу BM. По свойству катета прямоугольного треугольника:

\(MC^2 = ME \cdot MB\), поэтому \(MB = \frac{30^2}{20} = 45\) мм.

Точка O — центр тяжести, поэтому делит медиану в отношении \(BO:OM = 2:1\). Следовательно, \(OM = \frac{MB}{3} = 15\) мм.

Ответ: \(\cos \angle EMC = \frac{2}{3}\), \(OM = 15\) мм.