3. В трапеции ABCD BC ∥ AD, AB ⟂ BD, точки M и K — середины отрезков BC и CD соответственно, MK = √5 см, AD = 2√10 см. а) Найдите ∠DBC. б) Найдите BE, если CE — высота треугольника BCD, а площадь треугольника ECD равна 3.

а) В треугольнике BCD точки M и K — середины BC и CD. Поэтому MK — средняя линия: \(MK = \frac{BD}{2}\), откуда \(BD = 2\sqrt{5}\) см.

Треугольник ABD прямоугольный при B, а AD — гипотенуза. По теореме Пифагора:

\(AB^2 = AD^2 - BD^2 = (2\sqrt{10})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 40 - 20 = 20\), поэтому \(AB = 2\sqrt{5}\) см.

Так как AB = BD, прямоугольный треугольник ABD равнобедренный, следовательно, \(\angle BDA = 45°\). Из BC ∥ AD следует, что \(\angle DBC = \angle BDA = 45°\).

б) Обозначим через E основание высоты CE на AD. Поскольку BC ∥ AD и AB ⟂ BD, треугольник ABD — равнобедренный прямоугольный. Высота его вершины B к AD равна половине AD: \(CE = \frac{AD}{2} = \sqrt{10}\) см.

Из площади треугольника ECD:

\(3 = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot CE\), поэтому \(ED = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5}\) см.

Тогда \(AE = AD - ED = 2\sqrt{10} - \frac{3\sqrt{10}}{5} = \frac{7\sqrt{10}}{5}\) см. В равнобедренном треугольнике ABD высота из B делит AD пополам, значит \(BE\) здесь не является отрезком от B к E? По условию требуется BE, где E — основание высоты CE; поскольку CE перпендикулярна AD, точка E лежит на AD, а \(BE\) можно найти по координатной разности: горизонтальное смещение от проекции B на AD до E равно \(AE-\frac{AD}{2} = \frac{7\sqrt{10}}{5}-\sqrt{10}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\), вертикальная составляющая равна \(\sqrt{10}\).

По теореме Пифагора:

\(BE = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{10}}{5}\right)^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{\frac{8}{5}+10} = \sqrt{\frac{58}{5}} = \frac{\sqrt{290}}{5}\) см.

Ответ: а) \(45°\); б) \(BE = \frac{\sqrt{290}}{5}\) см.