1.На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. a) Найдите вероятность события A U B, AB, AUB, A ∩ B. б) Найдите вероятность события AUB, A ∩ B.

Задание 1. Диаграмма Эйлера

На этом рисунке мы видим диаграмму Эйлера, где точки — это элементарные события, а круги A и B — сами события. Важно посчитать общее количество точек, чтобы определить вероятности.

• Считаем точки: Внутри круга A — 4 точки. Внутри круга B — 3 точки. В пересечении A и B — 2 точки. Вне кругов, но внутри прямоугольника (общее пространство опыта) — 3 точки.
• Общее число элементарных событий: 4 + 3 + 2 + 3 = 12 точек.

а) Вероятности событий

• A U B (объединение событий A и B, то есть событие, когда произойдёт A или B или оба):
• Точки, принадлежащие A или B (или обоим): 4 (только A) + 2 (A и B) + 3 (только B) = 9 точек.
• Вероятность: \( P(A \cup B) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).
• A ∩ B (пересечение событий A и B, то есть когда произойдут оба события):
• Точки, принадлежащие и A, и B: 2 точки.
• Вероятность: \( P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
• A U B \(неверно обозначено, предполагаем, что имеется в виду A ∩ B^C или A \text{ \text{без} } B\):
• Точки, принадлежащие A, но не принадлежащие B: 4 точки.
• Вероятность: \( P(A \cap B^C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
• A ∩ B:
• Уже посчитано: 2 точки.
• Вероятность: \( P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).

б) Вероятности событий

• A U B (уже посчитано): \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).
• A ∩ B (уже посчитано): \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \).

Ответ: а) \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \), \( P(A \cap B^C) = \frac{1}{3} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \). б) \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \).