Ответ:

  1. Насчёт — производный предлог, пишется слитно. Утверждение верно.
  2. Навзничь — наречие, пишется слитно. Утверждение верно.
  3. Вдали от дома — наречие с зависимым словом, а не производный предлог. Утверждение неверно.
  4. Не смотря на ботинки — деепричастие с частицей НЕ, если имеется в виду «не глядя на ботинки». Утверждение верно.
  5. В течение дня — производный предлог, пишется с Е на конце. Утверждение неверно: это не существительное с непроизводным предлогом.