1. Найдите производные функций. a) y=x⁶ b) y=2 c) y=3-5x d) y=8√x+0,5cosx

Решение:

Для нахождения производных используем основные правила дифференцирования:

• Производная степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
• Производная константы \( (C)' = 0 \).
• Производная линейной функции \( (kx+b)' = k \).
• Производная квадратного корня \( (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная косинуса \( (\cos{x})' = -\sin{x} \).

1. \( y = x^6 \) \( \implies y' = 6x^{6-1} = 6x^5 \)
2. \( y = 2 \) \( \implies y' = 0 \)
3. \( y = 3 - 5x \) \( \implies y' = -5 \)
4. \( y = 8\sqrt{x} + 0,5\cos{x} \) \( \implies y' = 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0,5 \cdot (-\sin{x}) = \frac{4}{\sqrt{x}} - 0,5\sin{x} \)

Ответ: a) \( 6x^5 \); б) \( 0 \); в) \( -5 \); г) \( \frac{4}{\sqrt{x}} - 0,5\sin{x} \).