4. Составьте уравнение касательной к графику функции y=2х²+4х² в точке X₀=3

Решение:

Сначала упростим функцию: \( y = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2 \).

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 3 \):
   \( f(3) = 6 · 3^2 = 6 · 9 = 54 \).
2. Найдем производную функции: \( f'(x) = (6x^2)' = 12x \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
   \( f'(3) = 12 · 3 = 36 \).
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
   \( y - 54 = 36(x - 3) \)
   \( y - 54 = 36x - 108 \)
   \( y = 36x - 108 + 54 \)
   \( y = 36x - 54 \)

Ответ: \( y = 36x - 54 \).