1. Найдите точку максимума функции у = х³ - 108х +5.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = x^3 - 108x + 5 \) нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и найти критические точки. Затем определить, в какой из этих точек функция достигает максимума.

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 - 108x + 5)' = 3x^2 - 108 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 108 = 0 \) \( 3x^2 = 108 \) \( x^2 = 36 \) \( x = \pm 6 \).
3. Проверим знаки производной на интервалах.
4. На интервале \( (-\infty, -6) \), например, при \( x = -7 \): \( y' = 3(-7)^2 - 108 = 3 \cdot 49 - 108 = 147 - 108 = 39 > 0 \). Функция возрастает.
5. На интервале \( (-6, 6) \), например, при \( x = 0 \): \( y' = 3(0)^2 - 108 = -108 < 0 \). Функция убывает.
6. На интервале \( (6, \infty) \), например, при \( x = 7 \): \( y' = 3(7)^2 - 108 = 3 \cdot 49 - 108 = 39 > 0 \). Функция возрастает.
7. Точка \( x = -6 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

Ответ: -6.