3. Найдите точку максимума функции y = 19 + 4х - x³/3.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции \( y = 19 + 4x - \frac{x^3}{3} \), найдем производную, приравняем ее к нулю и определим знак производной.

1. Найдем производную функции: \( y' = \left( 19 + 4x - \frac{x^3}{3} \right)' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 4 - x^2 = 0 \) \( x^2 = 4 \) \( x = \pm 2 \).
3. Проверим знаки производной на интервалах:
• На \( (-\infty, -2) \), например, при \( x = -3 \): \( y' = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (-2, 2) \), например, при \( x = 0 \): \( y' = 4 - 0^2 = 4 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (2, \infty) \), например, при \( x = 3 \): \( y' = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \). Функция убывает.
4. Точка \( x = -2 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: -2.