1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2:5. Сколько решений имеет задача?

Решение:

Обозначим углы равнобедренного треугольника как \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\).

В равнобедренном треугольнике два угла равны.

Возможны два случая:

1. Два равных угла относятся к меньшим углам: Пусть \(\alpha = \beta = 2x\) и \(\gamma = 5x\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\): \( 2x + 2x + 5x = 180^{\circ} \) \( 9x = 180^{\circ} \) \( x = 20^{\circ} \). Тогда углы равны \( 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \) и \( 5 \cdot 20^{\circ} = 100^{\circ} \). Углы треугольника: \(40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ}\).
2. Один из равных углов относится к углу при основании, а другой - к углу при вершине: Пусть \(\alpha = 2x\) и \(\beta = \gamma = 5x\). Сумма углов: \( 2x + 5x + 5x = 180^{\circ} \) \( 12x = 180^{\circ} \) \( x = 15^{\circ} \). Тогда углы равны \( 2 \cdot 15^{\circ} = 30^{\circ} \) и \( 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ} \). Углы треугольника: \(30^{\circ}, 75^{\circ}, 75^{\circ}\).

Ответ: Задача имеет два решения: углы могут быть \(40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ}\) или \(30^{\circ}, 75^{\circ}, 75^{\circ}\).