2. В прямоугольном треугольнике разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна 70°. Найдите острые углы этого треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике углы \(90^{\circ}\), \(\alpha\) и \(\beta\), где \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\). Внешние углы равны \(180^{\circ} - \text{внутренний угол}\).

Наименьший внутренний угол — один из острых углов (допустим \(\beta\)). Наибольший внутренний угол — прямой \(90^{\circ}\).

Внешние углы:

• При остром угле \(\beta\): \( 180^{\circ} - \beta \) (наибольший внешний угол, так как \(\beta\) наименьший внутренний).
• При остром угле \(\alpha\): \( 180^{\circ} - \alpha \) (меньший внешний угол, так как \(\alpha\) больше \(\beta\)).
• При прямом угле \(90^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна \(70^{\circ}\).

Возможны варианты:

1. Наибольший внешний угол (при \(\beta\)) минус внешний угол при \(\alpha\): \( (180^{\circ} - \beta) - (180^{\circ} - \alpha) = 70^{\circ} \) \( \alpha - \beta = 70^{\circ} \).
2. Наибольший внешний угол (при \(\beta\)) минус внешний угол при \(90^{\circ}\): \( (180^{\circ} - \beta) - 90^{\circ} = 70^{\circ} \) \( 90^{\circ} - \beta = 70^{\circ} \) \( \beta = 20^{\circ} \).

Рассмотрим случай 2:

Если \(\beta = 20^{\circ}\), то \(\alpha = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}\).

Проверим разность внешних углов:

• Внешний при \(\beta = 20^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \) (наибольший).
• Внешний при \(\alpha = 70^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).
• Внешний при \(90^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (наименьший).

Разность наибольшего (\(160^{\circ}\)) и наименьшего (\(90^{\circ}\)) внешних углов равна \(160^{\circ} - 90^{\circ} = 70^{\circ}\). Это соответствует условию.

Рассмотрим случай 1:

\(\alpha - \beta = 70^{\circ}\) и \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\).

Сложим уравнения: \( 2\alpha = 160^{\circ} \) \( \alpha = 80^{\circ} \).

Вычтем уравнения: \( 2\beta = 20^{\circ} \) \( \beta = 10^{\circ} \).

Углы \(80^{\circ}\) и \(10^{\circ}\).

Проверим внешние углы:

• Внешний при \(\beta = 10^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 10^{\circ} = 170^{\circ} \) (наибольший).
• Внешний при \(\alpha = 80^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
• Внешний при \(90^{\circ}\): \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (наименьший).

Разность наибольшего (\(170^{\circ}\)) и наименьшего (\(90^{\circ}\)) внешних углов равна \(170^{\circ} - 90^{\circ} = 80^{\circ}\). Это НЕ соответствует условию.

Ответ: Острые углы треугольника равны \(70^{\circ}\) и \(20^{\circ}\).