1. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4: 5.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Углы прямоугольника равны 90°.

Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 4:5. Это означает, что образовавшиеся углы равны:

\( \alpha = \frac{4}{4+5} \times 90^{\circ} = \frac{4}{9} \times 90^{\circ} = 40^{\circ} \)

\( \beta = \frac{5}{4+5} \times 90^{\circ} = \frac{5}{9} \times 90^{\circ} = 50^{\circ} \)

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и одной стороной прямоугольника. Углы при основании этого треугольника равны 40° и 50°.

Угол между диагоналями (угол при вершине треугольника) равен:

\( \gamma = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \)

Однако, этот угол является одним из двух углов между диагоналями. Другой угол смежный с ним.

Углы между диагоналями равны \( 90^{\circ} \) и \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: 90°.