2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD=24 см, ВС=16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, AD || BC. AD = 24 см, BC = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Найти: Площадь трапеции S.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2}h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

В данной трапеции основания AD = 24 см и BC = 16 см. Угол ∠D = 90°, значит CD является высотой трапеции.

Из вершины B опустим высоту BH на основание AD. Треугольник ABH — прямоугольный, ∠BAH = ∠A = 45°.

Так как ∠A = 45° и ∠AHB = 90°, то ∠ABH = 180° - 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, AB = BH.

Также, так как AD || BC и BH ⊥ AD, то BH является высотой трапеции. Высота BH = CD.

Рассмотрим прямоугольник BCHK, где K — точка на AD. Тогда BC = HK = 16 см.

AH = AD - HK = 24 см - 16 см = 8 см.

В прямоугольном треугольнике ABH, AH = 8 см. Так как он равнобедренный (AB = BH), то BH = AH = 8 см.

Высота трапеции h = BH = 8 см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{AD + BC}{2} \times BH = \frac{24 + 16}{2} \times 8 = \frac{40}{2} \times 8 = 20 \times 8 = 160 \text{ см}^2 \).

Ответ: 160 см².