1. Найти ∠C, если: 1) AB = 4, BC = 7, ∠B = 60°; 2) AB = 5√2, BC = 4, ∠B = 135°.

1) Обозначим стороны, лежащие напротив углов A, B и C, соответственно a, b и c. По теореме косинусов сначала найдём AC = b.

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B=4^2+7^2-2\cdot4\cdot7\cdot\cos60^\circ=37.\)

Значит, \(AC=\sqrt{37}\). По теореме синусов:

\(\dfrac{\sin C}{AB}=\dfrac{\sin B}{AC}\), поэтому \(\sin C=\dfrac{4\sin60^\circ}{\sqrt{37}}=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{37}}\).

Следовательно, \(C=\arcsin\!\left(\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt{37}}\right)\approx34.1^\circ\). Поскольку \(B=60^\circ\), угол C острый, и это значение подходит.

2) По теореме косинусов:

\(AC^2=(5\sqrt2)^2+4^2-2\cdot5\sqrt2\cdot4\cdot\cos135^\circ=50+16+40=106.\)

Значит, \(AC=\sqrt{106}\). По теореме синусов:

\(\dfrac{\sin C}{AB}=\dfrac{\sin135^\circ}{AC}\), поэтому \(\sin C=\dfrac{5\sqrt2\cdot(\sqrt2/2)}{\sqrt{106}}=\dfrac5{\sqrt{106}}\).

Отсюда \(C=\arcsin\!\left(\dfrac5{\sqrt{106}}\right)\approx29.0^\circ\). Так как \(B=135^\circ\), сумма остальных углов равна 45°, поэтому угол C острый.

Ответ: 1) ∠C ≈ 34,1°; 2) ∠C ≈ 29,0°.