1. Найти для функции f(x) = 9x² + 4х-3 первообразную, график которой проходит через точку М(−1, 3) .

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 9x^2 + 4x - 3 \), проинтегрируем её:

\[ F(x) = \int (9x^2 + 4x - 3) dx \]\[ F(x) = 9 \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C \]\[ F(x) = 9 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} - 3x + C \]\[ F(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x + C \]

Теперь найдём значение \( C \), используя тот факт, что график проходит через точку \( M(-1, 3) \). Подставим \( x = -1 \) и \( F(x) = 3 \) в уравнение первообразной:

\[ 3 = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 3(-1) + C \]\[ 3 = 3(-1) + 2(1) + 3 + C \]\[ 3 = -3 + 2 + 3 + C \]\[ 3 = 2 + C \]\[ C = 3 - 2 \]\[ C = 1 \]

Таким образом, искомая первообразная:

\[ F(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1 \]

Ответ: \( F(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1 \).