1 Найти корни: 5^x+1 + 5^x-1 = 750

Решение:

Для решения уравнения \( 5^{x+1} + 5^{x-1} = 750 \) выполним следующие шаги:

1. Представим степени с одинаковым основанием: \( 5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 \) и \( 5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{5^x}{5} \).
2. Подставим это в уравнение: \( 5^x \cdot 5 + \frac{5^x}{5} = 750 \).
3. Вынесем \( 5^x \) за скобки: \( 5^x \left( 5 + \frac{1}{5} \right) = 750 \).
4. Упростим выражение в скобках: \( 5 + \frac{1}{5} = \frac{25+1}{5} = \frac{26}{5} \).
5. Получим: \( 5^x \cdot \frac{26}{5} = 750 \).
6. Выразим \( 5^x \): \( 5^x = 750 \cdot \frac{5}{26} \).
7. Вычислим правую часть: \( 5^x = \frac{3750}{26} = \frac{1875}{13} \).
8. Поскольку \( \frac{1875}{13} \) не является целой степенью 5, иррациональный корень.

Ответ: \( x = \log_5\left(\frac{1875}{13}\right) \).