4 Решить уравнение: sin^2 x - 4 sin x cos x + 3 cos^2 x = 0.

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \).

1. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). Подставим в уравнение: \( \sin^2(\frac{\pi}{2}) - 4 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) + 3 \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 1^2 - 4(1)(0) + 3(0)^2 = 1 \neq 0 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \).
2. Разделим уравнение на \( \cos^2 x \): \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).
3. Получим: \( \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 3 = 0 \).
4. Сделаем замену \( y = \operatorname{tg} x \): \( y^2 - 4y + 3 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение: \( (y-1)(y-3) = 0 \).
6. Отсюда \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 3 \).
7. Подставим обратно \( \operatorname{tg} x = y \):
• \( \operatorname{tg} x = 1 \) \( \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( \operatorname{tg} x = 3 \) \( \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = \operatorname{arctg}(3) + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).