1. Найти минимум и максимум функции на промежутке [50; 27] F(x) = x³ - 12x² + 7

Решение:

Заметим, что промежуток указан некорректно, так как 50 > 27. Предположим, что имелся в виду промежуток [27; 50].

1. Найдем производную функции: \( F'(x) = 3x^2 - 24x \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 - 24x = 0 \) \( 3x(x - 8) = 0 \). Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 8 \).
3. Из критических точек только \( x = 8 \) попадает в промежуток [27; 50].
4. Вычислим значения функции на концах промежутка и в критической точке, попадающей в промежуток:
• \( F(27) = 27^3 - 12 \cdot 27^2 + 7 = 19683 - 12 \cdot 729 + 7 = 19683 - 8748 + 7 = 10942 \)
• \( F(50) = 50^3 - 12 \cdot 50^2 + 7 = 125000 - 12 \cdot 2500 + 7 = 125000 - 30000 + 7 = 95007 \)
• \( F(8) = 8^3 - 12 \cdot 8^2 + 7 = 512 - 12 \cdot 64 + 7 = 512 - 768 + 7 = -249 \)
5. Сравним полученные значения: \( -249 < 10942 < 95007 \).

Ответ: Минимум функции равен \( -249 \) (при \( x=8 \)), максимум функции равен \( 95007 \) (при \( x=50 \)).