1. Найти все четырехзначные числа, делящиеся на 45, у которых первая цифра равна 4, а последняя равна 5.

Решение:

Число должно делиться на 45, значит, оно должно делиться на 5 и на 9. По условию, первая цифра равна 4, а последняя равна 5. Число имеет вид 4_ _5.

Так как число заканчивается на 5, оно автоматически делится на 5.

Для делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. Пусть число будет 4abc5. Тогда сумма цифр равна 4 + a + b + c + 5 = 9 + a + b + c.

Чтобы сумма цифр делилась на 9, выражение a + b + c должно делиться на 9. Возможные значения для a + b + c: 0, 9, 18.

Рассмотрим все возможные комбинации a, b, c, чтобы их сумма была кратна 9.

Случай 1: a + b + c = 0

• Единственный вариант: a=0, b=0, c=0. Число: 40005. Сумма цифр: 4+0+0+0+5 = 9. 40005 / 45 = 889.

Случай 2: a + b + c = 9

• Примеры комбинаций: 009, 018, 027, ..., 108, 117, ..., 333, ..., 900.
• Если a=0, b=0, c=9: 40095. Сумма: 18. 40095 / 45 = 889.
• Если a=0, b=1, c=8: 40185. Сумма: 18. 40185 / 45 = 893.
• Если a=0, b=2, c=7: 40275. Сумма: 18. 40275 / 45 = 895.
• ...
• Если a=1, b=0, c=8: 41085. Сумма: 18. 41085 / 45 = 913.
• ...
• Если a=3, b=3, c=3: 43335. Сумма: 18. 43335 / 45 = 963.
• ...
• Если a=9, b=0, c=0: 49005. Сумма: 18. 49005 / 45 = 1089.

Случай 3: a + b + c = 18

• Примеры комбинаций: 099, 189, ..., 666, ..., 990.
• Если a=0, b=9, c=9: 40995. Сумма: 27. 40995 / 45 = 911.
• Если a=1, b=8, c=9: 41895. Сумма: 27. 41895 / 45 = 931.
• ...
• Если a=6, b=6, c=6: 46665. Сумма: 27. 46665 / 45 = 1037.
• ...
• Если a=9, b=9, c=0: 49905. Сумма: 27. 49905 / 45 = 1109.

Случай 4: a + b + c = 27

• Пример комбинации: 999. Число: 49995. Сумма: 36. 49995 / 45 = 1111.

Перечислим все такие числа:

40005, 40095, 40185, 40275, 40365, 40455, 40545, 40635, 40725, 40815, 40905, 41085, 41175, 41265, 41355, 41445, 41535, 41625, 41715, 41805, 42075, 42165, 42255, 42345, 42435, 42525, 42615, 42705, 43065, 43155, 43245, 43335, 43425, 43515, 43605, 44055, 44145, 44235, 44325, 44415, 44505, 45045, 45135, 45225, 45315, 45405, 46035, 46125, 46215, 46305, 47025, 47115, 47205, 48015, 48105, 49005, 40995, 41895, 41985, 42795, 42885, 42975, 43695, 43785, 43875, 43965, 44595, 44685, 44775, 44865, 44955, 45495, 45585, 45675, 45765, 45855, 45945, 46395, 46485, 46575, 46665, 46755, 46845, 46935, 47295, 47385, 47475, 47565, 47655, 47745, 47835, 47925, 48195, 48285, 48375, 48465, 48555, 48645, 48735, 48825, 48915, 49095, 49185, 49275, 49365, 49455, 49545, 49635, 49725, 49815, 49905, 40995, 41895, 41985, 42795, 42885, 42975, 43695, 43785, 43875, 43965, 44595, 44685, 44775, 44865, 44955, 45495, 45585, 45675, 45765, 45855, 45945, 46395, 46485, 46575, 46665, 46755, 46845, 46935, 47295, 47385, 47475, 47565, 47655, 47745, 47835, 47925, 48195, 48285, 48375, 48465, 48555, 48645, 48735, 48825, 48915, 49095, 49185, 49275, 49365, 49455, 49545, 49635, 49725, 49815, 49905, 49995.

Ответ: 40005, 40095, 40185, 40275, 40365, 40455, 40545, 40635, 40725, 40815, 40905, 41085, 41175, 41265, 41355, 41445, 41535, 41625, 41715, 41805, 42075, 42165, 42255, 42345, 42435, 42525, 42615, 42705, 43065, 43155, 43245, 43335, 43425, 43515, 43605, 44055, 44145, 44235, 44325, 44415, 44505, 45045, 45135, 45225, 45315, 45405, 46035, 46125, 46215, 46305, 47025, 47115, 47205, 48015, 48105, 49005, 40995, 41895, 41985, 42795, 42885, 42975, 43695, 43785, 43875, 43965, 44595, 44685, 44775, 44865, 44955, 45495, 45585, 45675, 45765, 45855, 45945, 46395, 46485, 46575, 46665, 46755, 46845, 46935, 47295, 47385, 47475, 47565, 47655, 47745, 47835, 47925, 48195, 48285, 48375, 48465, 48555, 48645, 48735, 48825, 48915, 49095, 49185, 49275, 49365, 49455, 49545, 49635, 49725, 49815, 49905, 49995.