1. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 16, а сторона ВС в 1,6 раза меньше стороны АВ.

Так как окружность проходит через В и С, то АВС является вписанным в окружность. Угол ВКР равен углу АСВ, а угол ВРК равен углу АВС. Треугольники АВС и АКР подобны. Пусть АВ = x, тогда ВС = 0.625x. По условию АР = 16. Из подобия треугольников АКР и АВС имеем: АР/АВ = АК/АС = КР/ВС. Следовательно, 16/x = КР/(0.625x). Отсюда КР = 16 * 0.625 = 10.