№1. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ = 2.

Решение:

Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС касается стороны АВ в точке В. Это означает, что АВ является касательной к окружности, а радиус, проведенный в точку касания (В), перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус окружности равен расстоянию от центра (на АС) до точки В. Диаметр окружности равен 7,5, значит, радиус равен 7,5 / 2 = 3,75.

Так как окружность касается прямой АВ в точке В, то радиус, проведенный к точке В, перпендикулярен АВ. Центр окружности находится на стороне АС. Обозначим центр окружности как О. Тогда ОВ перпендикулярно АВ. В треугольнике АОВ, угол АВО = 90 градусов. Диаметр окружности равен 7,5, радиус равен 3,75. ОВ = 3,75.

Диаметр окружности равен 7,5, значит, радиус равен 3,75. Центр окружности находится на стороне АС. Окружность проходит через вершину С, значит, расстояние от центра до С равно радиусу. То есть, ОС = 3,75.

Учитывая, что окружность касается прямой АВ в точке В, а центр находится на АС, то АВ является касательной. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Пусть О - центр окружности. Тогда ОВ перпендикулярно АВ. Треугольник АОВ - прямоугольный. ОВ = радиус = 3,75. АВ = 2.

По теореме Пифагора в треугольнике АОВ: АО^2 = AB^2 + OB^2 = 2^2 + 3,75^2 = 4 + 14,0625 = 18,0625. АО = \sqrt{18,0625} = 4,25.

Так как центр окружности лежит на АС, то АС = АО + ОС. Окружность проходит через С, значит, ОС = радиус = 3,75. АС = 4,25 + 3,75 = 8.

Проверка: Если АС = 8, то центр окружности находится на расстоянии 4,25 от А и 3,75 от С. Это совпадает с радиусом. Значит, все верно.

Ответ: 8