№3. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 17, АС = 51, NC = 32.

Решение:

Прямая MN параллельна стороне АС треугольника АВС. По теореме о подобных треугольниках (или теореме Фалеса), если прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает две другие стороны, то она отсекает от них отрезки, пропорциональные этим сторонам. Это означает, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC.

Из подобия треугольников MBN и ABC следует, что отношение соответствующих сторон равно:

• BM / BA = BN / BC = MN / AC

Нам дано:

• MN = 17
• AC = 51
• NC = 32

Мы хотим найти BN.

Из подобия треугольников имеем:

• BN / BC = MN / AC

Подставим известные значения:

• BN / BC = 17 / 51

Упростим дробь:

• BN / BC = 1 / 3

Это означает, что BN составляет 1/3 от BC. Также, BC = BN + NC.

Подставим это в уравнение:

• BN / (BN + NC) = 1 / 3

Теперь подставим значение NC = 32:

• BN / (BN + 32) = 1 / 3

Решим это уравнение относительно BN:

• 3 * BN = 1 * (BN + 32)
• 3 * BN = BN + 32
• 3 * BN - BN = 32
• 2 * BN = 32
• BN = 32 / 2
• BN = 16

Проверка:

Если BN = 16, то BC = BN + NC = 16 + 32 = 48.

Проверим отношение сторон:

• BN / BC = 16 / 48 = 1 / 3
• MN / AC = 17 / 51 = 1 / 3

Отношения равны, следовательно, решение верно.

Ответ: 16