1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости β, а точки B и C не принадлежат этой плоскости. Точка E — середина стороны AB, F — середина стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что прямая EF параллельна плоскости β.

1. В трапеции основания параллельны, поэтому AB и CD — боковые стороны.

2. Рассмотрим треугольник ABD. Точка E — середина AB, а точка F — середина CD, но D принадлежит AD, а C не обязательно лежит на BD; следовательно, F не является серединой стороны BD этого треугольника.

3. Так как ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, имеем AB ∥ CD. Точки E и F — середины боковых сторон AB и CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции, значит, EF ∥ AD и EF ∥ BC.

4. Прямая AD лежит в плоскости β. Поскольку EF параллельна AD, прямая EF либо лежит в β, либо параллельна β. При этом EF не лежит в β: E не принадлежит β, так как E — внутренняя точка AB, а B не принадлежит β и A принадлежит β. Следовательно, EF ∥ β.

Ответ: EF ∥ β.