1. Отметьте на координатной плоскости точки А(4;7), В(-7; 8), С(-12; -1), Д(2;6). Проведите прямые АС и ВД. Найдите координаты точек пересечения: а) прямых АС и ВД; б) прямой АС с осью абсцисс; в) прямой ВД с осью ординат.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить точки А(4;7), В(-7; 8), С(-12; -1), Д(2;6) на координатной плоскости. Затем провести прямые через пары точек АС и ВД.

а) Точка пересечения прямых АС и ВД:

Чтобы найти точку пересечения, нужно найти уравнения прямых АС и ВД и решить систему из этих уравнений.

1. Уравнение прямой АС:
   Находим угловой коэффициент $$k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-1 - 7}{-12 - 4} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$$.
   Уравнение прямой: $$y - y_A = k_{AC}(x - x_A) \rightarrow y - 7 = \frac{1}{2}(x - 4) \rightarrow 2y - 14 = x - 4 \rightarrow x - 2y + 10 = 0$$.
2. Уравнение прямой ВД:
   Находим угловой коэффициент $$k_{ВД} = \frac{y_Д - y_B}{x_Д - x_B} = \frac{6 - 8}{2 - (-7)} = \frac{-2}{9}$$.
   Уравнение прямой: $$y - y_Д = k_{ВД}(x - x_Д) \rightarrow y - 6 = \frac{-2}{9}(x - 2) \rightarrow 9y - 54 = -2x + 4 \rightarrow 2x + 9y - 58 = 0$$.
3. Решение системы:
   \[ \begin{cases} x - 2y + 10 = 0 \\ 2x + 9y - 58 = 0 \end{cases} \]
   Из первого уравнения: $$x = 2y - 10$$. Подставляем во второе:
   $$2(2y - 10) + 9y - 58 = 0$$
   $$4y - 20 + 9y - 58 = 0$$
   $$13y - 78 = 0$$
   $$13y = 78$$
   $$y = 6$$
   Теперь находим $$x$$: $$x = 2(6) - 10 = 12 - 10 = 2$$.
   Точка пересечения: (2; 6), что совпадает с точкой Д.

б) Точка пересечения прямой АС с осью абсцисс (осью X):

На оси абсцисс $$y=0$$. Подставляем в уравнение прямой АС: $$x - 2(0) + 10 = 0 \rightarrow x = -10$$.
Точка пересечения: (-10; 0).

в) Точка пересечения прямой ВД с осью ординат (осью Y):

На оси ординат $$x=0$$. Подставляем в уравнение прямой ВД: $$2(0) + 9y - 58 = 0 \rightarrow 9y = 58 \rightarrow y = \frac{58}{9}$$.
Точка пересечения: (0; $$\frac{58}{9}$$).

Ответ:
а) (2; 6)
б) (-10; 0)
в) (0; $$\frac{58}{9}$$)