2. Отметьте на координатной плоскости точки М(-3;5), К(9;2), Р(-11; -2). Проведите лучи МК и МР. Измерьте угол КМР.

Решение:

Для решения задачи построим точки М(-3;5), К(9;2), Р(-11; -2) на координатной плоскости и проведем лучи МК и МР. Затем найдем угол КМР.

1. Построение точек и лучей:

На координатной плоскости отмечаем точки М, К, Р. Проводим луч, исходящий из точки М и проходящий через точку К. Аналогично проводим луч из точки М через точку Р.

2. Нахождение угла КМР:

Для нахождения угла используем векторы, исходящие из вершины угла М:

• Вектор $$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M) = (9 - (-3); 2 - 5) = (12; -3)$$.
• Вектор $$\vec{MP} = (x_P - x_M; y_P - y_M) = (-11 - (-3); -2 - 5) = (-8; -7)$$.

Найдем угол между векторами по формуле:

$$\cos(\angle KMP) = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{MP}}{|{\vec{MK}}| |\vec{MP}|}$$

Скалярное произведение векторов:

$$\vec{MK} \cdot \vec{MP} = (12)(-8) + (-3)(-7) = -96 + 21 = -75$$.

Длины векторов:

$$|{\vec{MK}}| = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}$$.

$$|{\vec{MP}}| = \sqrt{(-8)^2 + (-7)^2} = \sqrt{64 + 49} = \sqrt{113}$$.

Косинус угла:

$$\cos(\angle KMP) = \frac{-75}{\sqrt{153} \cdot \sqrt{113}} = \frac{-75}{\sqrt{17289}} \approx \frac{-75}{131.49} \approx -0.570$$.

Угол:

$$\angle KMP = \arccos(-0.570) \approx 124.79^{\circ}$$.

Ответ: Угол КМР примерно равен 124.79°.