1. Покажите, что функция F(x) = 2e2x + 2x3 + sinx + 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x) = 4e2x + 6x² + cos x

Решение:

Чтобы показать, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), нужно найти производную от \( F(x) \) и проверить, равна ли она \( f(x) \).

1. Найдем производную от \( F(x) \):
   \( F'(x) = \frac{d}{dx} (2e^{2x} + 2x^3 + \sin x + 1) \)
2. Продифференцируем каждый член:
   \( \frac{d}{dx}(2e^{2x}) = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x} \)
   \( \frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2 \)
   \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
   \( \frac{d}{dx}(1) = 0 \)
3. Сложим производные:
   \( F'(x) = 4e^{2x} + 6x^2 + \cos x \)
4. Сравним полученную производную с \( f(x) \):
   \( F'(x) = 4e^{2x} + 6x^2 + \cos x = f(x) \)

Так как производная от \( F(x) \) равна \( f(x) \), то \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \).

Ответ: Показано.