Решение:
- нигде — ударение на первом слоге: нигде
- нечем — ударение на первом слоге: нечем
- ничего — ударение на втором слоге: ничего
- ничему — ударение на втором слоге: ничему
Вывод: В отрицательных местоимениях и наречиях с приставками НЕ- и НИ- под ударением пишется буква Е, а без ударения — И.