1. Постройте углы: а) ∠BME = 68°; б) ∠CKP = 115°. 2. Начертите ΔAKN такой, чтобы ∠A = 120°. Измерьте и запишите градусные меры остальных углов треугольника. 3. Луч OK делит прямой угол DOS на два угла так, что угол DOK составляет 0,7 угла DOS. Найдите градусную меру угла KOS. 4. Развернутый угол AMF разделен лучом MC на два угла AMC и CMF. Найдите градусные меры этих углов, если угол AMC вдвое больше угла CMF. 5. Из вершины развернутого угла DKP проведены его биссектриса KB и луч KM так, что ∠BKM = 38°. Какой может быть градусная мера угла DKM?

Решение:

1. Построение углов:
   а) ∠BME = 68° - острый угол.
   б) ∠CKP = 115° - тупой угол.
2. Треугольник AKN:
   Постройте угол ∠A = 120°. От луча AN отложите угол 120°, чтобы получить луч AK. Точки K и N - вершины треугольника. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то ∠AKN + ∠ANК = 180° - 120° = 60°. Так как точные значения углов ∠AKN и ∠ANK не заданы, они могут быть, например, 30° и 30°, или 20° и 40°.
3. Деление развернутого угла:
   Развернутый угол DOS = 180°.
   Пусть ∠DOK = 0,7 * ∠DOS.
   \[ \angle DOK = 0,7 \times 180° = 126° \]
   \[ \angle KOS = \angle DOS - \angle DOK = 180° - 126° = 54° \]
4. Разделение развернутого угла AMF:
   Развернутый угол AMF = 180°.
   Пусть ∠CMF = x, тогда ∠AMC = 2x.
   \[ \angle AMC + \angle CMF = 180° \]
   \[ 2x + x = 180° \]
   \[ 3x = 180° \]
   \[ x = 60° \]
   Значит, ∠CMF = 60°, а ∠AMC = 2 * 60° = 120°.
5. Биссектриса и луч:
   Развернутый угол DKP = 180°.
   KB - биссектриса, значит, ∠DKB = ∠BKP = 180° / 2 = 90°.
   Дано ∠BKM = 38°.
   Возможны два случая:
   1) Луч KM лежит между KB и KP:
   \[ \angle DKM = \angle DKB + \angle BKM = 90° + 38° = 128° \]
   2) Луч KB лежит между KM и KP (что невозможно, так как ∠DKB = 90°, а ∠BKM = 38°).
   Возможный вариант: ∠DKM = ∠DKB - ∠MKB = 90° - 38° = 52°.
   Примечание: Условие задачи допускает неоднозначность. Если KB - биссектриса, то ∠DKB=90°. Угол ∠BKM=38° может быть как при откладывании от KB к KM, так и наоборот.

Ответ: 1) Построены углы. 2) ∠AKN + ∠ANK = 60°. 3) 54°. 4) 120° и 60°. 5) 52° или 128°.