Ответ:

  1. Нечастный день принёс неожиданный сюрприз. Слова «нечастный» и «неожиданный» — прилагательное и причастие, употреблённые без противопоставления; пишутся с не слитно.
  2. Это была не правда, а вымысел. Есть противопоставление с союзом «а», поэтому не с существительным пишется раздельно.
  3. Нескошенная трава пахла летом. Полное причастие без зависимых слов и противопоставления пишется с не слитно.
  4. Никто иной, как наш старший брат, решил задачу. В сочетании «никто иной, как» употребляется местоимение «никто».
  5. Неглубокая, но быстрая река шумела. Слово «неглубокая» можно заменить близким по смыслу словом «мелкая»; союз «но» не образует противопоставления с отрицанием.