1. Разложите на множители 16x^3 + 54y^3. 2. Найдите значение выражения n(n+2)(n-2) - (n-3)(n^2+3n+9) при n = 1/4. 3. Разложите на множители 27a^3c - 27a^2bc + 9abc^2 - b^3c. 4. Вычислите: 71^3 + 49^3 / 120 - 71 * 49. 5. Разложите на множители: a) 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2 6) m^2 + n^2 + 2mn + 2m + 2n + 1 6. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное.

Задание 1. Разложение на множители 16x^3 + 54y^3

Вынесем общий множитель 2:

\[ 2(8x^3 + 27y^3) \]

Воспользуемся формулой суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \), где \( a = 2x \) и \( b = 3y \):

\[ 2((2x)^3 + (3y)^3) = 2(2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) \]

\[ = 2(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) \]

Ответ: \( 2(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2) \).

Задание 2. Нахождение значения выражения

Выражение: \( n(n+2)(n-2) - (n-3)(n^2+3n+9) \)

Преобразуем первую часть: \( n(n^2 - 4) = n^3 - 4n \).

Преобразуем вторую часть, используя формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \), где \( a = n \) и \( b = 3 \): \( (n-3)(n^2+3n+9) = n^3 - 3^3 = n^3 - 27 \).

Подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

\[ (n^3 - 4n) - (n^3 - 27) \]

\[ = n^3 - 4n - n^3 + 27 \]

\[ = -4n + 27 \]

Теперь подставим \( n = \frac{1}{4} \):

\[ -4(\frac{1}{4}) + 27 = -1 + 27 = 26 \]

Ответ: 26.

Задание 3. Разложение на множители 27a^3c - 27a^2bc + 9abc^2 - b^3c

Вынесем общий множитель \( c \):

\[ c(27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3) \]

Заметим, что выражение в скобках похоже на разложение куба разности \( (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \) или куба суммы. Однако, здесь не хватает коэффициентов. Попробуем сгруппировать:

\[ c[(27a^3 - b^3) - (27a^2b - 9ab^2)] \]

Это не приводит к простому разложению. Попробуем иначе:

Сгруппируем так: \( 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3 \). Если рассмотреть \( (3a - b)^3 \), то получим \( (3a)^3 - 3(3a)^2b + 3(3a)b^2 - b^3 = 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3 \). Это совпадает с выражением в скобках.

Таким образом, выражение равно:

\[ c(3a - b)^3 \]

Ответ: \( c(3a - b)^3 \).

Задание 4. Вычисление

Выражение: \( \frac{71^3 + 49^3}{120} - 71 \cdot 49 \)

Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \). Здесь \( a = 71 \) и \( b = 49 \).

Знаменатель \( 120 = 71 + 49 \).

\[ \frac{(71 + 49)(71^2 - 71 \cdot 49 + 49^2)}{71 + 49} - 71 \cdot 49 \]

Сократим \( (71 + 49) \):

\[ (71^2 - 71 \cdot 49 + 49^2) - 71 \cdot 49 \]

\[ = 71^2 - 71 \cdot 49 + 49^2 - 71 \cdot 49 \]

\[ = 71^2 - 2 \cdot 71 \cdot 49 + 49^2 \]

Это похоже на формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a = 71 \) и \( b = 49 \).

\[ = (71 - 49)^2 \]

\[ = (22)^2 \]

\[ = 484 \]

Ответ: 484.

Задание 5. Разложение на множители

а) 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2

Сгруппируем слагаемые:

\[ (3x^3 - 3y^3) + (5x^2 - 5y^2) \]

Вынесем общие множители:

\[ 3(x^3 - y^3) + 5(x^2 - y^2) \]

Используем формулы разности кубов \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \) и разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \):

\[ 3(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 5(x - y)(x + y) \]

Вынесем общий множитель \( (x - y) \):

\[ (x - y) [3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y)] \]

\[ = (x - y) [3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y] \]

б) m^2 + n^2 + 2mn + 2m + 2n + 1

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют квадрат суммы \( (m + n)^2 \):

\[ (m^2 + 2mn + n^2) + 2m + 2n + 1 \]

\[ = (m + n)^2 + 2(m + n) + 1 \]

Это квадрат суммы \( (m + n) + 1 \) в квадрате:

\[ ((m + n) + 1)^2 \]

\[ = (m + n + 1)^2 \]

Ответ: а) \( (x - y)(3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y) \), б) \( (m + n + 1)^2 \).

Задание 6. Доказательство делимости разности квадратов двух последовательных натуральных чисел

Пусть \( n \) — первое натуральное число. Тогда следующее последовательное натуральное число будет \( n + 1 \).

Разность квадратов этих чисел равна:

\[ (n+1)^2 - n^2 \]

Раскроем квадрат суммы:

\[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 \]

Выражение \( 2n + 1 \) представляет собой любое нечетное число, так как \( n \) — натуральное число, то \( 2n \) — четное число, а \( 2n + 1 \) — нечетное.

Доказано.