1. Разложите на множители: a) 4x^2 - (3x - 2y)^2 6) a^3b - 12a^2bc + 6ab^2c в) ab - ac + bd - cd г) x^3 + x^2z - 2xz^2 - 2z^3 д) 2ac + 6bc - 4ad - 12bd 2. Решите уравнение y(y-5) - 3y(5-y)^2 = 0. 3. Докажите, что 8^5 + 2^{11} делится на 17.

Задание 1. Разложение на множители

а) 4x^2 - (3x - 2y)^2

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = 2x \) и \( b = 3x - 2y \).

\[ (2x - (3x - 2y))(2x + (3x - 2y)) \]

\[ (2x - 3x + 2y)(2x + 3x - 2y) \]

\[ (-x + 2y)(5x - 2y) \]

\[ (2y - x)(5x - 2y) \]

б) a^3b - 12a^2bc + 6ab^2c

Вынесем общий множитель \( ab \):

\[ ab(a^2 - 12ac + 6b^2c) \]

в) ab - ac + bd - cd

Сгруппируем слагаемые:

\[ (ab - ac) + (bd - cd) \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ a(b - c) + d(b - c) \]

Вынесем общий множитель \( (b - c) \):

\[ (b - c)(a + d) \]

г) x^3 + x^2z - 2xz^2 - 2z^3

Сгруппируем слагаемые:

\[ (x^3 + x^2z) - (2xz^2 + 2z^3) \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ x^2(x + z) - 2z^2(x + z) \]

Вынесем общий множитель \( (x + z) \):

\[ (x + z)(x^2 - 2z^2) \]

д) 2ac + 6bc - 4ad - 12bd

Сгруппируем слагаемые:

\[ (2ac + 6bc) - (4ad + 12bd) \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ 2c(a + 3b) - 4d(a + 3b) \]

Вынесем общий множитель \( (a + 3b) \):

\[ (a + 3b)(2c - 4d) \]

\[ 2(a + 3b)(c - 2d) \]

Задание 2. Решение уравнения y(y-5) - 3y(5-y)^2 = 0

Заметим, что \( (5-y)^2 = (y-5)^2 \). Подставим это в уравнение:

\[ y(y-5) - 3y(y-5)^2 = 0 \]

Вынесем общий множитель \( y(y-5) \):

\[ y(y-5) [1 - 3(y-5)] = 0 \]

\[ y(y-5) (1 - 3y + 15) = 0 \]

\[ y(y-5) (16 - 3y) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( y = 0 \)

2. \( y - 5 = 0 y = 5 \)

3. \( 16 - 3y = 0 3y = 16 y = \frac{16}{3} \)

Ответ: \( y = 0, y = 5, y = \frac{16}{3} \).

Задание 3. Доказательство делимости 8^5 + 2^{11} на 17

Представим 8 как \( 2^3 \):

\[ 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15} \]

Теперь выражение выглядит так: \( 2^{15} + 2^{11} \).

Вынесем общий множитель \( 2^{11} \):

\[ 2^{11} (2^4 + 1) \]

\[ = 2^{11} (16 + 1) \]

\[ = 2^{11} \cdot 17 \]

Полученное выражение \( 2^{11} \cdot 17 \) явно делится на 17, так как одним из множителей является 17.

Доказано.