1. Решить неравенства 1) (x-3)² > √5(x-3) 2) (x-1)² < √2(x-1) 3) -16/(x+2)²⁻⁵ > 0 4) -13/(x-4)²⁻⁶ > 0

Решение:

1. 
   

   1) \( (x-3)^2 > \sqrt{5}(x-3) \)

   
   Перенесём всё в одну сторону:
   \[ (x-3)^2 - \sqrt{5}(x-3) > 0 \]
   Вынесем общий множитель \( (x-3) \):
   \[ (x-3)(x-3 - \sqrt{5}) > 0 \]
   Корни: \( x=3 \) и \( x = 3 + \sqrt{5} \).
   Парабола ветвями вверх. Неравенство выполняется при \( x < 3 \) или \( x > 3 + \sqrt{5} \).
   

   Ответ: \( (-\infty; 3) \cup (3 + \sqrt{5}; +\infty) \).

   
   
2. 
   

   2) \( (x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1) \)

   
   Перенесём всё в одну сторону:
   \[ (x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) < 0 \]
   Вынесем общий множитель \( (x-1) \):
   \[ (x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0 \]
   Корни: \( x=1 \) и \( x = 1 + \sqrt{2} \).
   Парабола ветвями вверх. Неравенство выполняется при \( 1 < x < 1 + \sqrt{2} \).
   

   Ответ: \( (1; 1 + \sqrt{2}) \).

   
   
3. 
   

   3) \( \frac{-16}{(x+2)^{2.5}} > 0 \)

   
   Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Числитель \( -16 \) отрицателен. Следовательно, знаменатель \( (x+2)^{2.5} \) должен быть отрицательным.
   Однако, \( (x+2)^{2.5} = \sqrt{(x+2)^5} \) определено только для \( x+2 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \). В этом случае \( (x+2)^{2.5} \) всегда неотрицателен.
   Таким образом, знаменатель не может быть отрицательным.
   

   Ответ: Решений нет.

   
   
4. 
   

   4) \( \frac{-13}{(x-4)^{2.6}} > 0 \)

   
   Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Числитель \( -13 \) отрицателен. Следовательно, знаменатель \( (x-4)^{2.6} \) должен быть отрицательным.
   Однако, \( (x-4)^{2.6} = \sqrt[5]{(x-4)^{13}} \) определено для всех \( x \). Но степень \( 2.6 \) означает \( (x-4)^{13/5} \). Для отрицательных оснований \( x-4 < 0 \) значение может быть отрицательным, но для четных числителей степени (например, \( (x-4)^2 \) ) оно всегда положительно. Степень \( 2.6 \) не является целым числом, но подразумевает корень пятой степени. Для \( x<4 \), \( x-4 \) отрицательно. \( (x-4)^{13} \) будет отрицательным, а корень пятой степени из отрицательного числа - отрицателен.
   Значит, \( (x-4)^{2.6} < 0 \) при \( x < 4 \).
   

   Ответ: \( (-\infty; 4) \).