2. Решить уравнения 1) (x-36)² + (x²+4x-12)² = 0 2) (x²-49)² + (x²+4x-21)² = 0 3) (x-2)(x²+8x+16) = 4/(x+4)

Решение:

1. 
   

   1) \( (x-36)^2 + (x^2+4x-12)^2 = 0 \)

   
   Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.
   \[ (x-36)^2 = 0
   implies x - 36 = 0
   implies x = 36 \]
   \[ (x^2+4x-12)^2 = 0
   implies x^2+4x-12 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение: \( D = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64 \).
   \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \]
   \[ x_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2 \]
   \[ x_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6 \]
   Так как \( x=36 \) не является корнем уравнения \( x^2+4x-12=0 \), то система не имеет решений.
   

   Ответ: Решений нет.

   
   
2. 
   

   2) \( (x^2-49)^2 + (x^2+4x-21)^2 = 0 \)

   
   Сумма квадратов равна нулю, когда каждое слагаемое равно нулю.
   \[ (x^2-49)^2 = 0
   implies x^2-49 = 0
   implies x^2 = 49
   implies x = \pm 7 \]
   \[ (x^2+4x-21)^2 = 0
   implies x^2+4x-21 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение: \( D = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \).
   \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2} \]
   \[ x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = 3 \]
   \[ x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = -7 \]
   Общий корень для обоих уравнений — \( x = -7 \).
   

   Ответ: \( x = -7 \).

   
   
3. 
   

   3) \( (x-2)(x^2+8x+16) = \frac{4}{x+4} \)

   
   Заметим, что \( x^2+8x+16 = (x+4)^2 \).
   Уравнение примет вид:
   \[ (x-2)(x+4)^2 = \frac{4}{x+4} \]
   При условии \( x
   e -4 \), умножим обе части на \( x+4 \):
   \[ (x-2)(x+4)^3 = 4 \]
   Раскроем скобки:
   \[ (x-2)(x^3 + 12x^2 + 48x + 64) = 4 \]
   \[ x^4 + 12x^3 + 48x^2 + 64x - 2x^3 - 24x^2 - 96x - 128 = 4 \]
   \[ x^4 + 10x^3 + 24x^2 - 32x - 132 = 0 \]
   Это уравнение 4-й степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±11, ±12, ±22, ±33, ±44, ±66, ±132).
   Подставим \( x=2 \):
   \( 2^4 + 10(2^3) + 24(2^2) - 32(2) - 132 = 16 + 80 + 96 - 64 - 132 = 192 - 196 = -4 \).
   Подставим \( x=-2 \):
   \( (-2)^4 + 10(-2)^3 + 24(-2)^2 - 32(-2) - 132 = 16 - 80 + 96 + 64 - 132 = 176 - 212 = -36 \).
   Подставим \( x=-6 \):
   \( (-6)^4 + 10(-6)^3 + 24(-6)^2 - 32(-6) - 132 = 1296 - 2160 + 864 + 192 - 132 = 2352 - 2292 = 60 \).
   
   Перепишем исходное уравнение как \( (x-2)(x+4)^3 = 4 \).
   Если \( x=2 \), то \( (2-2)(2+4)^3 = 0 \) ≠ 4. Ошибся в проверке.
   
   Проверим \( x=2 \) в исходном уравнении:
   \( (2-2)(2^2+8(2)+16) = 0 \).
   Правая часть \( 4/(2+4) = 4/6 \).
   \( 0
   e 4/6 \). Значит \( x=2 \) не корень.
   
   Попробуем преобразовать уравнение иначе:
   \[ (x-2)(x+4)^2 = \frac{4}{x+4} \]
   \[ (x-2)(x+4)^2(x+4) = 4 \]
   \[ (x-2)(x+4)^3 = 4 \]
   
   Заметим, что если \( x-2 = 1 \) и \( x+4 = −1 \) (невозможно), или \( x-2 = -1 \) и \( x+4 = −1 \) (невозможно).
   
   Попробуем проверить \( x = -2 \) (хотя оно не должно быть решением, так как \( x ≠ -4 \)).
   \( (-2-2)((-2)+4)^2 = -4(2)^2 = -4(4) = -16 \).
   Правая часть: \( 4/(-2+4) = 4/2 = 2 \).
   
   Если \( x = −2 \), то \( (x-2)(x+4)^3 = (-2-2)(-2+4)^3 = (-4)(2)^3 = (-4)(8) = -32 \). Не равно 4.
   
   Если \( x = −6 \), то \( (x-2)(x+4)^3 = (-6-2)(-6+4)^3 = (-8)(-2)^3 = (-8)(-8) = 64 \). Не равно 4.
   
   Возможно, есть опечатка в условии. Если предположить, что \( (x-2)(x+4)^2 = 4 \):
   \[ (x-2)(x^2+8x+16) = 4 \]
   \[ x^3+8x^2+16x-2x^2-16x-32 = 4 \]
   \[ x^3+6x^2-32 = 4 \]
   \[ x^3+6x^2-36 = 0 \]
   
   Если всё же вернуться к \( (x-2)(x+4)^3 = 4 \), то это уравнение 4-й степени.
   
   При \( x = -4 \) знаменатель обращается в ноль, значит \( x
   e -4 \).
   
   Рассмотрим функцию \( f(x) = (x-2)(x+4)^3 \).
   \[ f'(x) = (x+4)^3 + (x-2) · 3(x+4)^2 = (x+4)^2[(x+4) + 3(x-2)] = (x+4)^2[x+4+3x-6] = (x+4)^2(4x-2) \]
   Критические точки: \( x = -4 \) (кратности 2) и \( x = 1/2 \).
   
   В точке \( x = 1/2 \) функция имеет минимум.
   \( f(1/2) = (1/2 - 2)(1/2 + 4)^3 = (-3/2)(9/2)^3 = (-3/2)(729/8) = -2187/16 ≈ -136.7 \).
   
   Так как \( ↗ x → ∞, f(x) ↗ ∞ \) и \( ↖ x ↖ -∞, f(x) ↖ -∞ \),
   и минимальное значение отрицательно, а \( f(x) \to ∞ \) при \( x \to ∞ \), то уравнение \( f(x) = 4 \) имеет один положительный корень.
   
   С помощью численных методов можно найти корень. Проверим \( x = 2.1 \):
   \( (2.1-2)(2.1+4)^3 = (0.1)(6.1)^3 ≈ (0.1)(226.98) ≈ 22.7 \).
   
   Проверим \( x = 2.05 \):
   \( (2.05-2)(2.05+4)^3 = (0.05)(6.05)^3 ≈ (0.05)(221.4) ≈ 11.07 \).
   
   Проверим \( x = 2.02 \):
   \( (2.02-2)(2.02+4)^3 = (0.02)(6.02)^3 ≈ (0.02)(218.2) ≈ 4.36 \).
   
   Проверим \( x = 2.01 \):
   \( (2.01-2)(2.01+4)^3 = (0.01)(6.01)^3 ≈ (0.01)(217.1) ≈ 2.17 \).
   
   Корень находится между 2.01 и 2.02. Точное решение получить сложно.
   

   Ответ: Один положительный корень, приблизительно \( x \approx 2.02 \).