№1. Решите графически a) {x² + y² = 16, y + x = 0; б) {x² + y² = 25, y - 2x = 0;

Решение:

а) Система уравнений:

• \( x^2 + y^2 = 16 \) — уравнение окружности с центром в начале координат \( (0, 0) \) и радиусом \( R = 4 \).
• \( y + x = 0 \) или \( y = -x \) — уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом \( k = -1 \).
• Графически точки пересечения находим, подставив \( y = -x \) в первое уравнение: \( x^2 + (-x)^2 = 16 \) \( \Rightarrow 2x^2 = 16 \) \( \Rightarrow x^2 = 8 \) \( \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \).
• При \( x = 2\sqrt{2} \), \( y = -2\sqrt{2} \).
• При \( x = -2\sqrt{2} \), \( y = 2\sqrt{2} \).

б) Система уравнений:

• \( x^2 + y^2 = 25 \) — уравнение окружности с центром в начале координат \( (0, 0) \) и радиусом \( R = 5 \).
• \( y - 2x = 0 \) или \( y = 2x \) — уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом \( k = 2 \).
• Графически точки пересечения находим, подставив \( y = 2x \) в первое уравнение: \( x^2 + (2x)^2 = 25 \) \( \Rightarrow x^2 + 4x^2 = 25 \) \( \Rightarrow 5x^2 = 25 \) \( \Rightarrow x^2 = 5 \) \( \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \).
• При \( x = \sqrt{5} \), \( y = 2\sqrt{5} \).
• При \( x = -\sqrt{5} \), \( y = -2\sqrt{5} \).

Ответ: а) \( (2\sqrt{2}; -2\sqrt{2}), (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \); б) \( (\sqrt{5}; 2\sqrt{5}), (-\sqrt{5}; -2\sqrt{5}) \).