№2. Решить систему методом подстановки a) {x = y + 3, xy - y = 7; б) {x = y - 2, xy - y = 10;

Решение:

а) Система уравнений:

• Подставим \( x = y + 3 \) во второе уравнение: \( (y + 3)y - y = 7 \)
• Раскроем скобки: \( y^2 + 3y - y = 7 \)
• Приведём подобные слагаемые: \( y^2 + 2y = 7 \)
• Перенесём все члены в одну сторону: \( y^2 + 2y - 7 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32 \).
• \( y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2} \).
• Найдем соответствующие значения \( x \):
• При \( y_1 = -1 + 2\sqrt{2} \), \( x_1 = (-1 + 2\sqrt{2}) + 3 = 2 + 2\sqrt{2} \).
• При \( y_2 = -1 - 2\sqrt{2} \), \( x_2 = (-1 - 2\sqrt{2}) + 3 = 2 - 2\sqrt{2} \).

б) Система уравнений:

• Подставим \( x = y - 2 \) во второе уравнение: \( (y - 2)y - y = 10 \)
• Раскроем скобки: \( y^2 - 2y - y = 10 \)
• Приведём подобные слагаемые: \( y^2 - 3y = 10 \)
• Перенесём все члены в одну сторону: \( y^2 - 3y - 10 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \).
• \( y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2} \).
• \( y_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 \), \( y_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \).
• Найдем соответствующие значения \( x \):
• При \( y_1 = 5 \), \( x_1 = 5 - 2 = 3 \).
• При \( y_2 = -2 \), \( x_2 = -2 - 2 = -4 \).

Ответ: а) \( (2+2\sqrt{2}; -1+2\sqrt{2}), (2-2\sqrt{2}; -1-2\sqrt{2}) \); б) \( (3; 5), (-4; -2) \).