1. Решите иррациональные уравнения: 1) √(x + 1) = 6; 2) √(x² − 3) = 1; 3) √(4x + 5) = x; 4) √(x − 9) = √(1 − x); 5) x = √(14 − 2x + 3x²); 6) √(x² + 3x + 5) = 3; 7) √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1; 8) √(x + 5) + √(20 − x) = 7; 9) √x = x − 6; 10) √(x + 3) − √(7 − x) = √(2x − 8).

1. Возводим обе части в квадрат: \(x+1=36\), поэтому \(x=35\). Проверка в исходном уравнении верна.

2. \(x^2-3=1\), значит \(x^2=4\) и \(x=\pm2\). Оба значения допустимы.

3. Правая часть неотрицательна, поэтому \(x\ge0\). После возведения в квадрат: \(4x+5=x^2\), откуда \((x-5)(x+1)=0\). Условию подходит только \(x=5\).

4. Для существования корней одновременно нужны \(x\ge9\) и \(x\le1\). Таких чисел нет.

5. Необходимо \(x\ge0\). Возводим в квадрат: \(x^2=14-2x+3x^2\), откуда \(2x^2-2x+14=0\). Дискриминант отрицателен, действительных корней нет.

6. Возводим в квадрат: \(x^2+3x+5=9\), то есть \((x-1)(x+4)=0\). При \(x=1\) и \(x=-4\) исходное равенство выполняется.

7. Положим \(t=\sqrt{1-x}\), где \(t\ge0\). Тогда уравнение принимает вид \(\sqrt{1+2t^2}=1+t\). После возведения в квадрат получаем \(t(t-2)=0\), значит \(t=0\) или \(t=2\). Следовательно, \(x=1\) или \(x=-3\); оба корня подходят.

8. Область определения: \(-5\le x\le20\). Возводим в квадрат: \(25+2\sqrt{(x+5)(20-x)}=49\), поэтому \((x+5)(20-x)=144\). Отсюда \(x^2-15x+44=0\), корни \(4\) и \(11\). Проверка: в обоих случаях слагаемые под корнями равны 9 и 16, и сумма корней равна 7.

9. Нужно \(x\ge6\). Возводим в квадрат: \(x=(x-6)^2\), откуда \((x-4)(x-9)=0\). Условию подходит только \(x=9\).

10. Область определения: \(4\le x\le7\). Из равенства и возведения в квадрат следует \(\sqrt{(x+3)(7-x)}=9-x\). Ещё одно возведение в квадрат даёт \(2x^2-22x+60=0\), то есть \(x=5\) или \(x=6\). Подстановка в исходное уравнение подтверждает оба корня.

Ответ: 1) 35; 2) −2, 2; 3) 5; 4) корней нет; 5) корней нет; 6) −4, 1; 7) −3, 1; 8) 4, 11; 9) 9; 10) 5, 6.