1. Решите неравенство: $$\frac{x^2-6x+5}{x+7} < 0$$

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{x^2-6x+5}{x+7} < 0 \) найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \). Корни: \( x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \).
2. Найдем корень знаменателя: \( x + 7 = 0 \), то есть \( x = -7 \).
3. Теперь рассмотрим знаки выражений на интервалах, образованных этими корнями: \( (-\infty, -7), (-7, 1), (1, 5), (5, +\infty) \).
4. Проверим знаки в каждом интервале:
   • На \( (-\infty, -7) \): Возьмем \( x = -8 \). \( \frac{(-8)^2 - 6(-8) + 5}{-8 + 7} = \frac{64 + 48 + 5}{-1} = \frac{117}{-1} = -117 < 0 \).
   • На \( (-7, 1) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0^2 - 6(0) + 5}{0 + 7} = \frac{5}{7} > 0 \).
   • На \( (1, 5) \): Возьмем \( x = 2 \). \( \frac{2^2 - 6(2) + 5}{2 + 7} = \frac{4 - 12 + 5}{9} = \frac{-3}{9} = -1/3 < 0 \).
   • На \( (5, +\infty) \): Возьмем \( x = 6 \). \( \frac{6^2 - 6(6) + 5}{6 + 7} = \frac{36 - 36 + 5}{13} = \frac{5}{13} > 0 \).
5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля.

Ответ: \( x \in (-\infty, -7) \cup (1, 5) \).