1. Решите неравенство: $$\frac{x^2 - 6x + 5}{x + 7} < 0$$

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{x^2 - 6x + 5}{x + 7} < 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\). Корни: \(x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\) и \(x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\).
2. Корень знаменателя: \(x + 7 = 0 \implies x = -7\).
3. Отметим корни на числовой оси: -7, 1, 5. Эти точки разбивают ось на четыре интервала: \((-\infty, -7)\), \((-7, 1)\), \((1, 5)\), \((5, \infty)\).
4. Определим знак выражения \(\frac{(x-1)(x-5)}{x+7}\) в каждом интервале:
   • При \(x < -7\) (например, \(x = -8\)): \(\frac{(-)(-)}{(-)} = (-)\).
   • При \(-7 < x < 1\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{(-)(-)}{(+)} = (+)\).
   • При \(1 < x < 5\) (например, \(x = 2\)): \(\frac{(+)(-)}{(+)} = (-)\).
   • При \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \(\frac{(+)(+)}{(+)} = (+)\).
5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. Это выполняется на интервалах \((-\infty, -7)\) и \((1, 5)\).

Ответ: \(x \in (-\infty, -7) \cup (1, 5)\).