9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел $$z_1 = 3 + 2i$$, $$z_2 = -1 + 3i$$

Решение:

Даны комплексные числа \( z_1 = 3 + 2i \) и \( z_2 = -1 + 3i \).

1. Сумма: \( z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3 - 1) + (2 + 3)i = 2 + 5i \).
2. Разность: \( z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 3i) = (3 - (-1)) + (2 - 3)i = 4 - i \).
3. Произведение: \( z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i)(-1 + 3i) = 3(-1) + 3(3i) + 2i(-1) + 2i(3i) = -3 + 9i - 2i + 6i^2 \). Так как \( i^2 = -1 \), то \( -3 + 9i - 2i - 6 = (-3 - 6) + (9 - 2)i = -9 + 7i \).
4. Частное: \( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 2i}{-1 + 3i} \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю (\( -1 - 3i \)): \( \frac{(3 + 2i)(-1 - 3i)}{(-1 + 3i)(-1 - 3i)} = \frac{3(-1) + 3(-3i) + 2i(-1) + 2i(-3i)}{(-1)^2 - (3i)^2} = \frac{-3 - 9i - 2i - 6i^2}{1 - 9i^2} = \frac{-3 - 11i + 6}{1 + 9} = \frac{3 - 11i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{11}{10}i \).

Ответ: Сумма: \( 2 + 5i \); Разность: \( 4 - i \); Произведение: \( -9 + 7i \); Частное: \( \frac{3}{10} - \frac{11}{10}i \).