1. Решите уравнение: 1) 6^{x+2} - 4 · 6^{x+1} + 8 · 6^{x-1} = 80; 2) \(\log\)_3(3x - 8) = 2 - x; 3) \(\log\)_2^2 x - \(\log\)_{0,5} x^3 = 4.

Решение:

1. 1) Решение уравнения:
   \(6^{x+2} - 4 · 6^{x+1} + 8 · 6^{x-1} = 80\)
   Вынесем общий множитель \(6^{x-1}\):
   \[ 6^{x-1}(6^3 - 4 · 6^2 + 8) = 80 \]
   \[ 6^{x-1}(216 - 4 · 36 + 8) = 80 \]
   \[ 6^{x-1}(216 - 144 + 8) = 80 \]
   \[ 6^{x-1}(80) = 80 \]
   \[ 6^{x-1} = 1 \]
   \[ 6^{x-1} = 6^0 \]
   \[ x-1 = 0 \]
   \[ x = 1 \]
2. 2) Решение уравнения:
   \(\log_3(3x - 8) = 2 - x\)
   По определению логарифма:
   \[ 3x - 8 = 3^{2 - x} \]
   \[ 3x - 8 = \frac{3^2}{3^x} = \frac{9}{3^x} \]
   Пусть \(y = 3^x\), тогда:
   \[ 3x - 8 = \frac{9}{y} \]
   Это нелинейное уравнение, которое сложно решить аналитически. Проверим целочисленные значения \(x\), которые могут удовлетворять условию \(3x-8 > 0\) (область определения логарифма): \(x > \frac{8}{3}\).
   Если \(x = 3\): \(\log_3(3 · 3 - 8) = \log_3(9-8) = \log_3(1) = 0\). Правая часть: \(2 - 3 = -1\). \(0 \neq -1\).
   Если \(x = 4\): \(\log_3(3 · 4 - 8) = \log_3(12-8) = \log_3(4)\). Правая часть: \(2 - 4 = -2\). \(\log_3(4) \neq -2\).
   Это уравнение, вероятно, имеет одно решение. Однако, решение этого уравнения может потребовать численных методов или графического анализа.
   Примечание: В рамках стандартной школьной программы, такие уравнения часто имеют простые целые или дробные корни, которые легко подбираются. Если подставить \(x = 3\), левая часть равна 0, правая -1. Если подставить \(x=2\), ОДЗ не выполняется. Попробуем \(x=2.5\), \(\log_3(7.5-8)\) - не существует. Проверим \(x=3\) еще раз: \(\log_3(3*3-8) = \log_3(1) = 0\), \(2-3=-1\). Не подходит.
   Предполагается, что в задании возможна опечатка или требуется численное решение.
3. 3) Решение уравнения:
   \(\log_2^2 x - \log_{0,5} x^3 = 4\)
   Перепишем \(\log_{0,5} x^3\) через основание 2:
   \(\log_{0,5} x^3 = \frac{\log_2 x^3}{\log_2 0,5} = \frac{3 \log_2 x}{-1} = -3 \log_2 x\)
   Теперь уравнение выглядит так:
   \[ \log_2^2 x - (-3 \log_2 x) = 4 \]
   \[ \log_2^2 x + 3 \log_2 x - 4 = 0 \]
   Сделаем замену \(y = \log_2 x\):
   \[ y^2 + 3y - 4 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение для \(y\):
   \[ (y+4)(y-1) = 0 \]
   Следовательно, \(y = -4\) или \(y = 1\).
   Возвращаемся к замене:
   1) \(\log_2 x = -4 \implies x = 2^{-4} = \frac{1}{16}\)
   2) \(\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2\)
   Оба корня удовлетворяют области определения \(x > 0\).

Ответ: 1) x = 1; 2) (решение не найдено аналитически, возможно, есть опечатка или требуется численное решение); 3) x = \(\frac{1}{16}\), x = 2.