6. При каких значениях b и c парабола y = 4x² + bx + c касается прямой y = -14x + 1 в точке В (-2; 29)?

Решение:

Для того чтобы парабола \(y = 4x^2 + bx + c\) касалась прямой \(y = -14x + 1\) в точке \(B(-2; 29)\), должны выполняться два условия:

1. 1. Точка касания лежит на обеих кривых.
   Проверим, лежит ли точка \(B(-2; 29)\) на прямой \(y = -14x + 1\):
   \[ 29 = -14(-2) + 1 \]
   \[ 29 = 28 + 1 \]
   \[ 29 = 29 \]

   Точка лежит на прямой. Теперь подставим координаты точки \(B\) в уравнение параболы:

   \[ 29 = 4(-2)^2 + b(-2) + c \]
   \[ 29 = 4(4) - 2b + c \]
   \[ 29 = 16 - 2b + c \]
   \[ c - 2b = 29 - 16 \]
   \[ c - 2b = 13 \quad (*) \]
2. 2. Абсциссы точки касания параболы и прямой совпадают, а их производные в этой точке равны.
   Найдем производную параболы:
   \[ y'_{парабола} = (4x^2 + bx + c)' = 8x + b \]

   Найдем производную прямой:

   \[ y'_{прямая} = (-14x + 1)' = -14 \]

   В точке касания \(x = -2\), производные должны быть равны:

   \[ 8(-2) + b = -14 \]
   \[ -16 + b = -14 \]
   \[ b = -14 + 16 \]
   \[ b = 2 \]

Теперь, зная \(b = 2\), подставим это значение в уравнение (*) для нахождения \(c\):

\[ c - 2(2) = 13 \]
\[ c - 4 = 13 \]
\[ c = 13 + 4 \]
\[ c = 17 \]

Таким образом, значения параметров \(b\) и \(c\) равны \(b = 2\) и \(c = 17\).

Ответ: b = 2, c = 17.