№ 1. Решите уравнение: а) x⁴ + 9x² + 18 = 0; б) p³ − p² = p − 1; в) (x² + 6x)² − 5(x² + 6x) = 24.

а) Сделаем замену: \(t=x^2\), где \(t\geq 0\). Тогда

\(t^2+9t+18=0\),
\((t+3)(t+6)=0\).

Получаем \(t=-3\) или \(t=-6\), но оба значения противоречат условию \(t\geq0\).

б) Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:

\(p^3-p^2-p+1=0\),
\(p^2(p-1)-(p-1)=0\),
\((p-1)(p^2-1)=0\),
\((p-1)^2(p+1)=0\).

Отсюда \(p=1\) или \(p=-1\).

в) Сделаем замену: \(t=x^2+6x\). Тогда

\(t^2-5t=24\),
\(t^2-5t-24=0\),
\((t-8)(t+3)=0\).

1) Если \(t=8\), то \(x^2+6x=8\), откуда \(x^2+6x-8=0\) и \(x=-3\pm\sqrt{17}\).

2) Если \(t=-3\), то \(x^2+6x=-3\), откуда \(x^2+6x+3=0\) и \(x=-3\pm\sqrt{6}\).

Ответ: а) действительных корней нет; б) \(p=-1, 1\); в) \(x=-3\pm\sqrt{17},\ -3\pm\sqrt{6}\).