1. Решите уравнения: a) log23 (2x-1) - log23 x =0; б) sin π(2x+8) / 6 = -1.

Решение:

а) \( \log_{23} (2x-1) - \log_{23} x = 0 \)

1. Приведём уравнение к виду \( \log_{23} (2x-1) = \log_{23} x \).
2. Раскроем логарифмы: \( 2x-1 = x \).
3. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x - x = 1 \) ⇒ \( x = 1 \).
4. Проверим условие существования логарифма: \( 2x-1 > 0 \) и \( x > 0 \). При \( x=1 \) имеем \( 2(1)-1=1>0 \) и \( 1>0 \). Условие выполняется.

б) \( \sin \frac{\pi(2x+8)}{6} = -1 \)

1. Решим простейшее тригонометрическое уравнение: \( \frac{\pi(2x+8)}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
2. Умножим обе части уравнения на \( \frac{6}{\pi} \): \( 2x+8 = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{6}{\pi} + 2\pi n \cdot \frac{6}{\pi} \).
3. Упростим: \( 2x+8 = 9 + 12n \).
4. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x = 9 - 8 + 12n \) ⇒ \( 2x = 1 + 12n \) ⇒ \( x = \frac{1+12n}{2} \) ⇒ \( x = 0.5 + 6n \).

Ответ: а) \( x=1 \); б) \( x = 0.5 + 6n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).