1. С помощью метода математической индукции доказать равенство: 1² + 3² + … + (2n−1)² = n(4n²−1)/3.

Докажем равенство методом математической индукции.

1. База индукции: при \(n=1\) левая часть равна \(1^2=1\), а правая — \(\frac{1(4\cdot1^2-1)}{3}=1\). Равенство верно.

2. Индукционное предположение: пусть для некоторого натурального \(n\) верно, что \(1^2+3^2+\ldots +(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}\).

3. Переход от \(n\) к \(n+1\): добавим к сумме следующий нечётный квадрат:

   \[1^2+3^2+\ldots +(2n-1)^2+(2n+1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}+(2n+1)^2.\]

   Приведём к общему знаменателю:

   \[\frac{n(4n^2-1)+3(4n^2+4n+1)}{3}=\frac{4n^3+12n^2+11n+3}{3}.\]

   Поскольку \((n+1)(4(n+1)^2-1)=4n^3+12n^2+11n+3\), получаем

   \[1^2+3^2+\ldots +(2n+1)^2=\frac{(n+1)(4(n+1)^2-1)}{3}.\]

   Следовательно, утверждение верно и для \(n+1\).

По принципу математической индукции равенство верно для всех натуральных \(n\).