Ответ:

В предложении есть ошибки в формах слов и их написании. Исправленный вариант: «Старшины дома, почти разрушенные временем, доказывали свой век грустною разваливающейся палаточке».

«Старшины» по смыслу, вероятно, должно быть «Старинные»; «развалистающейся» — «разваливающейся»; «палатошке» — «палаточке». Однако фраза «доказывали свой век» грамматически и смыслово неясна: без исходного текста нельзя достоверно восстановить её.