1) Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна 1620°? Если да, то укажите число сторон.

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $$S = (n-2) \times 180^{\circ}$$.

Нам дана сумма углов $$1620^{\circ}$$. Приравниваем формулу к данному значению:

\[ (n-2) \times 180^{\circ} = 1620^{\circ} \]

Теперь найдем число сторон $$n$$:

1. Разделим обе части уравнения на $$180^{\circ}$$:

   \[ n-2 = \frac{1620}{180} \]

   \[ n-2 = 9 \]

2. Прибавим 2 к обеим частям уравнения:

   \[ n = 9 + 2 \]

   \[ n = 11 \]

Так как мы получили целое положительное число сторон ($$n=11$$), такой многоугольник существует. Это 11-угольник.

Ответ: Да, существует. Число сторон равно 11.