3) Катеты прямоугольного треугольника 9 см и 12 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Для решения этой задачи нам понадобятся две формулы площади прямоугольного треугольника:

1. Через катеты: $$S = \frac{1}{2} \times катет_1 \times катет_2$$
2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2} \times гипотенуза \times высота$$

У нас есть катеты: $$a = 9$$ см и $$b = 12$$ см.

Сначала найдем длину гипотенузы ($$c$$) по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$.

\[ c^2 = 9^2 + 12^2 \]

\[ c^2 = 81 + 144 \]

\[ c^2 = 225 \]

\[ c = \sqrt{225} = 15 \] см

Теперь найдем площадь треугольника, используя катеты:

\[ S = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 108 \]

\[ S = 54 \] см²

Теперь, зная площадь и гипотенузу, найдем высоту ($$h$$), проведенную к гипотенузе:

\[ 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times h \]

\[ 108 = 15 \times h \]

\[ h = \frac{108}{15} \]

\[ h = 7.2 \] см

Ответ: Высота, проведенная к гипотенузе, равна 7.2 см.