1. Тип 21 № 126 i Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шел со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

1. Обозначим скорость пешехода, шедшего из В, как \( v \) км/ч. Тогда скорость пешехода, шедшего из А, равна \( v+1 \) км/ч.
2. Пешеход из А прошел 9 км. Время в пути пешехода из А: \( t_A = \frac{9}{v+1} \) часа.
3. Пешеход из В прошел \( 19 - 9 = 10 \) км. Время в пути пешехода из В: \( t_B = \frac{10}{v} \) часа.
4. Пешеход из А сделал остановку на 0,5 часа. Общее время движения пешехода из А равно времени движения пешехода из В: \( t_A + 0.5 = t_B \).
5. Подставим выражения для времени: \( \frac{9}{v+1} + \frac{1}{2} = \frac{10}{v} \).
6. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{18 + v(v+1)}{2(v+1)} = \frac{10}{v} \).
7. Умножим крест-накрест: \( v(18 + v^2 + v) = 20(v+1) \).
8. Раскроем скобки: \( 18v + v^3 + v^2 = 20v + 20 \).
9. Приведем уравнение к стандартному виду: \( v^3 + v^2 - 2v - 20 = 0 \).
10. Подбором находим, что \( v = 2.5 \) является корнем уравнения (\( (2.5)^3 + (2.5)^2 - 2(2.5) - 20 = 15.625 + 6.25 - 5 - 20 = 21.875 - 25 = -3.125 \), не подходит. Попробуем \( v=3 \) : \( 3^3 + 3^2 - 2(3) - 20 = 27 + 9 - 6 - 20 = 36 - 26 = 10 \). Не подходит. Попробуем \( v=2 \) : \( 2^3 + 2^2 - 2(2) - 20 = 8 + 4 - 4 - 20 = 12 - 24 = -12 \). Проверим, что-то не так. В условии сказано, что скорость пешехода из А НА 1 км/ч БОЛЬШЕ.
11. Перепишем уравнение: \( \frac{9}{v+1} + \frac{1}{2} = \frac{10}{v} \)
12. \( \frac{18+v+v^2}{2(v+1)} = \frac{10}{v} \)
13. \( 18v + v^2 + v^3 = 20v + 20 \)
14. \( v^3 + v^2 - 2v - 20 = 0 \)
15. Перепробуем \( v = 4 \): \( 4^3 + 4^2 - 2(4) - 20 = 64 + 16 - 8 - 20 = 80 - 28 = 52 \).
16. Перепробуем \( v = 3 \): \( 27+9-6-20 = 10 \).
17. Перепробуем \( v=2.5 \): \( 15.625+6.25-5-20 = -3.125 \).
18. Проверим условие: пешеход из А НА 1 км/ч БОЛЬШЕ.
19. Пусть скорость пешехода из В = \( x \) км/ч. Скорость пешехода из А = \( x+1 \) км/ч.
20. Время пешехода из А: \( t_A = \frac{9}{x+1} \) ч.
21. Время пешехода из В: \( t_B = \frac{10}{x} \) ч.
22. \( t_A + 0.5 = t_B \)
23. \( \frac{9}{x+1} + \frac{1}{2} = \frac{10}{x} \)
24. \( \frac{18 + x+1}{2(x+1)} = \frac{10}{x} \)
25. \( \frac{19+x}{2(x+1)} = \frac{10}{x} \)
26. \( x(19+x) = 20(x+1) \)
27. \( 19x + x^2 = 20x + 20 \)
28. \( x^2 - x - 20 = 0 \)
29. Решим квадратное уравнение: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \). \( \sqrt{D} = 9 \).
30. \( x_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \)
31. \( x_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4 \) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).
32. Итак, скорость пешехода из В равна 5 км/ч.
33. Скорость пешехода из А равна \( 5+1 = 6 \) км/ч.
34. Проверим: Время пешехода из А: \( \frac{9}{6} = 1.5 \) часа. Время пешехода из В: \( \frac{10}{5} = 2 \) часа.
35. Разница во времени: \( 2 - 1.5 = 0.5 \) часа, что соответствует условию остановки.

Ответ: 6 км/ч.