1. Точки B, C и D делят окружность на три дуги так, что \("BC : "CD : "BD = 3 : 4 : 5. Найдите углы треугольника BCD.\)

Решение:

Отношение длин дуг окружности равно отношению их градусных мер. Пусть градусные меры дуг равны \(3x\), \(4x\) и \(5x\). Сумма всех дуг окружности равна \(360^{\circ}\).

1. Составим уравнение: \(3x + 4x + 5x = 360^{\circ}\).
2. Решим уравнение: \(12x = 360^{\circ}\) \( \implies x = 30^{\circ}\).
3. Найдём градусные меры дуг: \( "BC = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}\), \( "CD = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}\), \( "BD = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ}\).
4. Углы треугольника BCD являются вписанными углами, опирающимися на соответствующие дуги.
5. Угол \(\angle BCD\) опирается на дугу \( "BD \). Его градусная мера равна половине градусной меры дуги: \(\angle BCD = \frac{1}{2} \cdot "BD = \frac{1}{2} \cdot 150^{\circ} = 75^{\circ}\).
6. Угол \(\angle CBD\) опирается на дугу \( "CD \). Его градусная мера равна половине градусной меры дуги: \(\angle CBD = \frac{1}{2} \cdot "CD = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}\).
7. Угол \(\angle BDC\) опирается на дугу \( "BC \). Его градусная мера равна половине градусной меры дуги: \(\angle BDC = \frac{1}{2} \cdot "BC = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}\).

Ответ: Углы треугольника BCD равны \(75^{\circ}\), \(60^{\circ}\) и \(45^{\circ}\).