2. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите углы AOB, BOC и AOC, если 1) \(\angle A = 48^{\circ}\), \(\angle C = 63^{\circ}\); 2) \(\angle A = 37^{\circ}\), \(\angle C = 44^{\circ}\).

Решение:

Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

1) \(\angle A = 48^{\circ}\), \(\angle C = 63^{\circ}\)

1. Сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^{\circ}\). Найдём \(\angle B\): \(\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 63^{\circ} = 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ}\).
2. Центральный угол \(\angle AOC\) опирается на дугу \(AC\), на которую опирается вписанный угол \(\angle B\). \(\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 69^{\circ} = 138^{\circ}\).
3. Центральный угол \(\angle BOC\) опирается на дугу \(BC\), на которую опирается вписанный угол \(\angle A\). \(\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 48^{\circ} = 96^{\circ}\).
4. Центральный угол \(\angle AOB\) опирается на дугу \(AB\), на которую опирается вписанный угол \(\angle C\). \(\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 63^{\circ} = 126^{\circ}\).
5. Проверка: \(\angle AOC + \angle BOC + \angle AOB = 138^{\circ} + 96^{\circ} + 126^{\circ} = 360^{\circ}\).

2) \(\angle A = 37^{\circ}\), \(\angle C = 44^{\circ}\)

1. Найдём \(\angle B\): \(\angle B = 180^{\circ} - 37^{\circ} - 44^{\circ} = 180^{\circ} - 81^{\circ} = 99^{\circ}\).
2. \(\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 99^{\circ} = 198^{\circ}\).
3. \(\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 37^{\circ} = 74^{\circ}\).
4. \(\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 44^{\circ} = 88^{\circ}\).
5. Проверка: \(198^{\circ} + 74^{\circ} + 88^{\circ} = 360^{\circ}\).

Ответ: 1) \(\angle AOB = 126^{\circ}\), \(\angle BOC = 96^{\circ}\), \(\angle AOC = 138^{\circ}\); 2) \(\angle AOB = 88^{\circ}\), \(\angle BOC = 74^{\circ}\), \(\angle AOC = 198^{\circ}\).