1. Точки P и O лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; BP = PC; AO : OD = 3 : 2. Выразите вектор \(\overrightarrow{OP}\) через векторы \(\vec a = \overrightarrow{AB}\) и \(\vec b = \overrightarrow{AD}\).

Положим точку A за начало отсчёта. Тогда координатные векторы точек: \(A=0\), \(B=\vec a\), \(D=\vec b\), \(C=\vec a+\vec b\).

Так как \(BP=PC\), точка P — середина BC, поэтому \(P=\frac{B+C}{2}=\vec a+\frac12\vec b\).

Из \(AO:OD=3:2\) следует, что O делит диагональ AD в отношении 3:2 от A к D, следовательно, \(O=\frac35\vec b\).

Тогда \(\overrightarrow{OP}=P-O=\vec a+\left(\frac12-\frac35\right)\vec b=\vec a-\frac1{10}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{OP}=\vec a-\frac1{10}\vec b\).