1. У Пети есть набор из 25 гирь массами $a_1, a_2, \ldots, a_{25}$, а у Васи — набор из 25 гирь массами $a_1+a_2, a_2+a_3, \ldots, a_{25}+a_1$. Вася смог разложить все свои гири на две чаши весов так, что наступило равновесие. Докажите, что Петя может добавить на каждую чашу несколько гирь (хотя бы одну) своего набора так, чтобы снова наступило равновесие.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. У Пети есть набор из 25 гирь массами $a_1, a_2, \ldots, a_{25}$, а у Васи — набор из 25 гирь массами \(a_1+a_2, a_2+a_3,…$ Фото задания

1. У Пети есть набор из 25 гирь массами $a_1, a_2, \ldots, a_{25}$, а у Васи — набор из 25 гирь массами $a_1+a_2, a_2+a_3, \ldots, a_{25}+a_1$. Вася смог разложить все свои гири на две чаши весов так, что наступило равновесие. Докажите, что Петя может добавить на каждую чашу несколько гирь (хотя бы одну) своего набора так, чтобы снова наступило равновесие.

Accepted Answer

Обозначим через $x_i$ число $+1$, если гиря Васи массой $a_i+a_{i+1}$ лежит на одной чаше, и $-1$, если на другой; индексы считаются циклически, так что $a_{26}=a_1$. Равновесие означает

\[\sum_{i=1}^{25}x_i(a_i+a_{i+1})=0.\]

Соберём коэффициенты при массах Пети. Получаем

\[\sum_{i=1}^{25}(x_i+x_{i-1})a_i=0,\]

где $x_0=x_{25}$. Если соседние значения $x_{i-1}$ и $x_i$ различны, коэффициент при $a_i$ равен нулю; если одинаковы, коэффициент равен $2x_i$. Поэтому равновесие гирь Васи даёт равновесие соответствующего набора гирь Пети, взятых с коэффициентами $x_i+x_{i-1}$.

Остаётся убедиться, что на каждой чаше есть хотя бы одна гиря Пети. В циклической последовательности из нечётного числа (25) знаков не могут чередоваться все соседние знаки. Значит, найдётся пара соседних одинаковых знаков. При этом оба соответствующих коэффициента не обязаны быть ненулевыми, однако число смен знака в цикле чётно; при нечётном количестве знаков одинаковые соседние пары противоположных знаков встречаются поровну. Следовательно, среди ненулевых коэффициентов есть и $+2$, и $-2$. Положив на соответствующие чаши гири Пети массами $a_i$, получаем равновесие; при необходимости коэффициенты $\pm2$ означают, что обе гири соседней пары учитываются по одной на каждой стороне уравнения.

Ответ: гирь Васи, разложенных поровну по чашам, можно преобразовать в равновесное разложение гирь Пети, причём на каждой чаше окажется хотя бы одна гиря.